Rojen je leta 1955 v okolici Celja. Osnovno šolo je obiskoval v Novi Cerkvi in na Dobrni. Izobraževanje je nadaljeval na mariborski drugi gimnaziji, bival pa je v jezuitskem malem semenišču. Po opravljeni maturi je leta 1974 vstopil v noviciat Družbe Jezusove. Leta 1976 je v Novem mestu odslužil vojaški rok in se nato vpisal na ljubljansko Teološko fakulteto. Jeseni 1979 je v jezuitskem kolegiju v Turinu opravil prakso kot vzgojitelj in veroučitelj.
Teološke študije je nadaljeval leta 1980 v Rimu na Papeški univerzi Gregoriani. V diakona je bil posvečen 28. marca 1983 v Rimu, v duhovnika ga je 3. julija 1983 v domači župniji posvetil mariborski pomožni škof msgr. dr. Jožef Smej. Kaplansko službo je opravljal v župniji Dravlje, kjer se je še posebej posvečal mladim in zakoncem.
S podiplomskim študijem na področju pedagogike in katehetike je nadaljeval v Bruslju, na fakulteti Lumen Vitae. Leta 1990 je zagovarjal magistersko nalogo Vzgoja odraslih v župniji v francoščini. Jeseni istega leta je bil imenovan za župnika v Dravljah. Pomladi 1993 je odšel v Padovo, kjer je zaključil jezuitsko formacijo, nato pa je v Dravljah izpovedal slovesne zaobljube.
Ljubljanski nadškof in metropolit msgr. dr. Alojzij Šuštar ga je imenoval za prvega ravnatelja Jegličevega dijaškega doma v Zavodu sv. Stanislava v Šentvidu nad Ljubljano in mu zaupal nalogo, naj pripravi vse potrebno, da bo dom lahko zaživel (priprava prostora, vzgojnega programa in iskanje prvih sodelavcev). P. Cvikl je bil prvi profesor verouka na Škofijski klasični gimnaziji in eno leto tudi pomočnik ravnatelja. Verouk na gimnaziji je poučeval osem let.
Pomladi leta 1995 je bil imenovan za provinciala slovenske province Družbe Jezusove in je to službo opravljal do leta 2001. Januarja 1996 je postal predsednik Zveze višjih redovnih predstojnikov in predstojnic. V času njegovega predsedovanja se je Zveza leta 1999 preimenovala v Konferenco redovnih ustanov Slovenije.
V času njegovega provincialata je bila jezuitom pred prvim obiskom papeža Janeza Pavla II. v Sloveniji vrnjena cerkev Sv. Jožefa na Poljanah v Ljubljani, ki je bila po obnovi posvečena 5. novembra 2000. Prizadeval si je za dokončanje in posvetitev cerkve v Kočevski Reki, ki jo je tedaj upravljal jezuit p. Franc Šetar.
V tem času je bil član raznih komisij, sodeloval je tudi pri pripravi sinode in obeh papeževih obiskov. Od leta 1997 do leta 2002 je dejavno sodeloval v tajništvu sinode in pomagal pri pripravi besedila ter bil prisoten na mnogih dekanijskih dnevih po Sloveniji.
Leta 2001 je postal rektor Papeškega kolegija Russicum v Rimu. Omenjeni kolegij je bil v času njegove službe temeljito prenovljen, vanj se je naselila skupnost sester. Oktobra 2006 je bil potrjen vzgojni načrt, ki je sad dolgoletnega iskanja. Trudil si je ustvarjati ekumensko vzdušje, saj v skupnosti sobivajo pravoslavni in rimokatoličani.
Cviklovi strokovni članki se nanašajo predvsem na vzgojno področje. Kot kaplan je pripravil Zvezek prizadevnosti za spodbudo otrokom za povezovanje nedeljske maše in verouka. Sodeloval je pri pripravi učbenika za birmance Pridi Sv. Duh. Dve leti je bil odgovoren za pastoralo mladih v Ljubljani. Kot veroučitelj je na Škofijski gimnaziji pripravil prvi osnutek gradiva za predmet verouk. Kot jezuitski provincial je izdal Provincijski načrt, ki naj bi usmerjal delo redovnikov Družbe Jezusove v Sloveniji.
Marca 2009 je izšla njegova knjiga Il Padre. Servire nel nascondimento – Maksimilijan Žitnik SJ, v kateri predstavi življenje in delo svojega sobrata, s katerim je delil zadnja leta življenja v kolegiju. Do leta 2014 je bil voditelj gospodarske komisije v nadškofiji Maribor in župnik v Vitanju, v aprilu 2015 pa je postal mariborski nadškof. Njegov škofovski motto je Iz teme bo zasvetila luč.
Slovenski škofje so na 99. redni seji SŠK, ki je potekala 13. marca 2017 v Kopru, izvolili nadškofa Cvikla za podpredsednika SŠK za dobo petih let.